本文试图从物理的角度定量、定性地分析台球运动中，加塞这一技术动作对出球的影响。 这里，「加塞」指的是击球点在水平方向上偏移母球中心，而不包括更广义的高低杆； 「出球」指的是母球在击球后瞬间的行为，具体包括出球的初始方向与呲杆的情况。
建模
如头图，母球中心点为 $O$，球杆延长线到母球表面的交点（即击球点）为 $P$。 这产生了两根向量，分别是出杆方向与击球点法向，两者都平行于台面（因为只加了侧塞）。
在这里，我们将球杆简化成了没有粗细的线段，皮头则仅为一单点。 这样的简化足以胜任本篇博客的探讨范畴。 如果您希望看到更细致的分析，请期待未来的博客！
从简单的物理直觉可知，击球后母球出球方向一定夹在这两根向量之间。 但是具体方向如何，仍然要定量分析。
由于我们只研究击球后的瞬间，竖直方向上的与需要时间才能显现的作用——如重力和滚动过程中与台面的相互拖曳所造成的轨迹偏移——通通可以不考虑。 此故，可以把无关因素一并抽象掉，只留下顶部的俯视图。 如后图，额外标记了击球角度（出杆方向与击球点法向的夹角）为 $\alpha$、出球角度（出球方向与出杆方向的夹角）为 $\theta$。
正常击球分析
不论角度、力度如何，最终作用在母球上的只有杆头在击球点传递来的冲量。 此冲量可以分为两部分：由皮头在法向上直接撞击母球所得的法向冲量，以及皮头在切向上摩擦使得母球在转动的同时获得切向上的初速度的切向冲量。 将此二者加和，即为母球受到的总冲量，也即其最终的出球方向。
注意，此总冲量并不一定与出杆方向平行，因为皮头、球杆、母球、击球力度等因素会使得法、切向上的正交分量受到不同程度的折损； 如此加权加和后，并不一定与原始向量线性相关。 接下来我们来分析：哪些因素会对两个方向上的冲量造成怎样的影响。
法向
法向上的分析是简单的，在形式上与高中物理学过的非弹性碰撞没有区别。
不妨设球杆的质量为 $m_s$、母球的质量为 $m_c$； 碰撞发生前一瞬间，球杆的运动速度为 $v_s$，而母球静止； 碰撞的恢复系数（即能量损失率）为 $C_R$。 根据一维非弹性碰撞公式可得，母球的法向出球初速度为 $$ v_{n}=(C_R+1)\frac{m_s}{m_s+m_c}v_s. $$
上式中，母球质量 $m_c$ 是固定的，能够人为影响的因素有球杆速度 $v_s$、球杆质量 $m_s$ 与恢复系数 $C_R$。
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球杆速度很容易理解，就是击球力度。 击球力度越小，母球出球的速度自然也就越小。
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球杆质量这一块比较复杂：它不光指球杆自身的质量，还要考虑上球员的发力等等一切所致成的击球那一瞬间球杆的实际惯性度。 球员的站姿、发力技巧、握杆的松紧度等，都可能对此值产生影响； 但通常 $m_s$ 都远大于 $m_c$，因此尽管此值的影响因素很多，式中分式的取值总十分接近于 $1$。 只有在超小力轻推（或者，考虑到极端情况，握杆的人肌无力）时，讨论此项才有意义。
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最后是恢复系数，它与皮头的性能有关。 我对皮头的材质等细节尚未有过任何了解，在此不进一步妄论。
切向
切向上的冲量完全靠皮头与母球表面侧向摩擦传递。
对于无呲杆的正常击球，尽管通常认为是瞬间发生的过程，但从物理实际出发，皮头会依靠巧粉的附着力与自身的柔性，在短时间内形变、贴合母球表面，带动其转动。 在这一过程中，可以认为皮头与母球之间无相互滑动；母球与皮头的切向速度相等。
这一数值可以直接给出：$v_{p}=\sin(\alpha)v_s$。
有了法向与切向，出球角度就可以写出： $$ \theta =\arctan\left(\frac{v_{p}}{v_{n}}\right) \approx\arctan\left(\frac{\sin(\alpha)}{C_R+1}\right). $$
台球的恢复系数通常很高，接近于 $1$，而在自变量较小时 $\arctan(x)\sim x$，因而有 $$ \theta\approx 0.5\sin(\alpha). $$
见下图，在安全加塞角度内（绿线左侧，见下文分析），出球角度随击球角度近乎线性地从 $0^\circ$ 增长到约 $35^\circ$。
呲杆分析
呲杆发生在皮头无法抓牢母球，即两者之间产生切向滑动的时候。 在不呲杆的情况下，皮头能够提供的摩擦力应当大于等于母球产生足够旋转所需要的力。 按照库伦摩擦定律（即高中课本的摩擦力形式），设皮头与母球间的摩擦系数为 $\mu$； 经过高中水平的受力分析可以得到 $\mu\geq\tan(\alpha)=r/\sqrt{1-r^2}$，其中 $r$ 是击球点的半径偏移量。
根据 Dr. Dave 的数据（Alciatore, D., “Minimum cue tip friction required for no-slip horizontal impact,” 2008.），常见巧克粉能提供的最大静摩擦系数为 $\mu\approx 0.659$，对应的极限加塞半径为 $r\approx 0.55$、$\alpha\approx {52.5}^{\circ}$。
也就是说，要想不呲杆，加塞顶多加到半颗球，加杆也是同理。
