念一叨

在大一的高数课上，我们学到了几个基本的积分公式，其中包括这两位： $$\int \frac{\mathrm{d}x}{x^2}=-\frac{1}{x}+C,$$ $$\int \frac{\mathrm{d}x}{x^2+1}\mathrm{d}x=\arctan x+C.$$ 观察它们的形式其实是很相似的，只是分母的部分差了一个常数。

对于下式有如下推广： $$\int \frac{\mathrm{d}x}{x^2+a^2}=\int \frac{a\mathrm{d}(x/a)}{a^2{(x/a)}^2+a^2}=\frac{1}{a}\int \frac{\mathrm{d}(x/a)}{{(x/a)}^2+1}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C.$$ 这引诱我们犯这样一个“错误”： $$\underset{a\to 0}{lim}\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C_1\stackrel{?}{==}-\frac{1}{x}+C_2.$$ 然而这其实是正确的（某种角度上）。

事实上，有： $$\underset{a\to 0}{lim}\frac{1}{a}[\arctan \frac{x}{a}-\frac{\pi }{2}\mathrm{sgn}\frac{x}{a}]=-\frac{1}{x}.$$ 这里 ${\displaystyle \mathrm{sgn}\frac{x}{a}}$ 分别在 ${\mathbb{R}}^{-},{\mathbb{R}}^{+}$ 上为常函数，这正好是 ${\displaystyle -\frac{1}{x}}$ 的两个连续区间。 但是这 ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ 的系数究竟何来，我是一点头绪没有。

另外，对于 ${\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{x^2-a^2}=-\frac{1}{a}\frac{1}{\tanh \frac{x}{a}}+C}$，实际上有： $$\underset{a\to 0}{lim}-a[\frac{1}{\tanh ax}-\mathrm{sgn}ax]=-\frac{1}{x}.$$ 这里的系数又跑哪去了？以及为什么左边传给 $\tanh$ 的自变量并非 $x/a$，而是 $ax$？

2022/12/4 更新

Further investigation shows that，若函数 $f(x)$ 在无穷远处有级数展开 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A+B{x}^{-1}+\mathcal{O}(x^{-2})$，则：

$$\begin{array}{rl}& \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}k[f(kx)-A]\\ & =\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}k[\frac{B}{kx}+\mathcal{O}(k^{-2}{x}^{-2})]\\ & =\frac{B}{x}+\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\text{mathcalO}(k^{-1}{x}^{-2})\\ & =\frac{B}{x}+0=\frac{B}{x}.\end{array}$$

而对于上面的反正切和双曲正切函数，恰巧有：

$$\arctan x\sim \frac{\pi }{2}\mathrm{sgn}x-\frac{1}{x}+\mathcal{O}(x^{-2}),$$ $$\frac{1}{\tanh x}\sim \mathrm{sgn}x+\frac{1}{x}+\mathcal{O}(x^{-2}).$$