在大一的高数课上，我们学到了几个基本的积分公式，其中包括这两位： $$\int\frac{\mathrm dx}{x^2}=-\frac 1x+C,$$ $$\int\frac{\mathrm dx}{x^2+1}\mathrm dx=\arctan x+C.$$ 观察它们的形式其实是很相似的，只是分母的部分差了一个常数。
对于下式有如下推广： $$ \int\frac{\mathrm dx}{x^2+a^2} =\int\frac{a\mathrm d(x/a)}{a^2{(x/a)}^2+a^2} =\frac 1a\int\frac{\mathrm d(x/a)}{ {(x/a)}^2+1} =\frac 1a\arctan\frac xa+C. $$ 这引诱我们犯这样一个“错误”： $$ \lim_{a\to 0}\frac 1a\arctan\frac xa+C_1 \ \overset{\color{red}?}{=\mathrel{\mkern-3mu}=} -\frac 1x+C_2. $$ 然而这其实是正确的（某种角度上）。
事实上，有： $$ \lim_{a\to 0}\frac 1a\left[\arctan\frac xa-\frac\pi 2\mathrm{sgn}\frac xa\right] =-\frac 1x. $$ 这里 $\displaystyle\mathrm{sgn}\frac xa$ 分别在 $\mathbb R^-,\mathbb R^+$ 上为常函数，这正好是 $\displaystyle-\frac 1x$ 的两个连续区间。 但是这 $\displaystyle\frac\pi 2$ 的系数究竟何来，我是一点头绪没有。
另外，对于 $\displaystyle\int\frac{\mathrm dx}{x^2-a^2}=-\frac 1a\frac 1{\tanh\frac xa}+C$，实际上有： $$ \lim_{a\to 0}-a\left[\frac 1{\tanh ax}-\mathrm{sgn} ax\right]=-\frac 1x. $$ 这里的系数又跑哪去了？以及为什么左边传给 $\tanh$ 的自变量并非 $x/a$，而是 $ax$？
2022/12/4 更新
Further investigation shows that，若函数 $f(x)$ 在无穷远处有级数展开 $\lim_{x\to\infty}f(x)=A+Bx^{-1}+\mathcal O(x^{-2})$，则：
$$\begin{aligned} &\lim_{k\to\infty}k\left[f(kx)-A\right]\\ &=\lim_{k\to\infty}k\left[\frac B{kx}+\mathcal O(k^{-2}x^{-2})\right]\\ &=\frac Bx+\lim_{k\to\infty}\mathcalO(k^{-1}x^{-2})\\ &=\frac Bx+0=\frac Bx. \end{aligned}$$
而对于上面的反正切和双曲正切函数，恰巧有：
$$\arctan x\sim\frac\pi 2\mathrm{sgn}x-\frac 1x+\mathcal O(x^{-2}),$$ $$\frac 1{\tanh x}\sim\mathrm{sgn}x+\frac 1x+\mathcal O(x^{-2}).$$