引入
学校数学协会的同学问了这样一个问题：
$$F(\overrightarrow\alpha,s):= \int_{\mathbb R}\int_{\mathbb R}\int_{\mathbb R} f(x,y,z)\delta( x\sin\vartheta\cos\varphi +y\sin\vartheta\sin\varphi +z\cos\vartheta -s ) \mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz. $$ 求其傅里叶变换。
我一看，这不是一个三维空间里的二维平面方程嘛，标量场只在平面上有值，为 $f(\overrightarrow\alpha)\delta(0)$。
现在我们就来算一下广义的情况——有限维欧氏空间中超平面上的函数的傅里叶变换。
正文
$n$ 维欧氏空间中的一个 $n-1$ 维超平面可由其到原点的垂向量 $p\in\mathbb{R}^n$ 所确定。对应的平面方程为： $$ P_p(v):=\delta\langle v-p |p\rangle. $$ 类似地，$\mathbb{R}^n$ 中的频域基也可以由一个向量 $\omega$ 确定，其各分量代表了在不同方向上的频率。形式为： $$ B_\omega(v):= \sum_{i\in{1,\cdots,n}} e^{-2\pi i\omega_i\langle v|\hat{x}_i\rangle}. \qquad\text{($\omega_i=\langle\omega|\hat{x}_i\rangle$)} $$ 因而，$n$ 维欧式空间中的超平面上的函数 $f:\mathbb{R}^n\mapsto\mathbb{R}$ 的傅里叶变换为： $$\begin{aligned} \mathcal{F}(f\cdot P_p)(\omega) &=\int_{\mathbb{R}^n}f(v)P_p(v)B_\omega(v)\mathrm{d}v\\ &=\int_{\mathbb{R}^n}\left[ f(v)\ \delta\langle v-p |p\rangle \sum_{i\in{1,\cdots,n}} e^{-2\pi i\omega_i\langle v|\hat{x}_i\rangle} \right]\mathrm{d}v\\ &=\sum_{i\in{1,\cdots,n}}\int_{\mathbb{R}^n} \delta\langle v-p |p\rangle f(v)\, e^{-2\pi i\omega_i\langle v|\hat{x}_i\rangle} \mathrm{d}v\\ &=\sum_{i\in{1,\cdots,n}}\int_{\ker{\langle p|}} f(v)\, e^{-2\pi i\omega_i\langle v+p|\hat{x}_i\rangle} \mathrm{d}v \qquad \text{(substituting $v\to v-p)$}\\ &=\sum_{i\in{1,\cdots,n}} e^{-2\pi i\omega_i p_i} \int_{\ker{\langle p|}} f(v)\, e^{-2\pi i\omega_i\langle v|\hat{x}_i\rangle} \mathrm{d}v. \qquad\text{($p_i=\langle p|\hat{x}_i\rangle$)} \end{aligned}$$ 设 $A_i$ 是任意将 $p$ 变换为 $\hat{x}_i$ 的正规矩阵（只要 $p\neq 0$，这样的矩阵总存在，可以用 Schmidt 正交化得到）。易知 $\det A=||p||^{-n}$，所以： $$\begin{aligned} \text{RHS} &=||p||^n\sum_{i\in{1,\cdots,n}} e^{-2\pi i\omega_i p_i} \int_{\mathbb{R}^{n-1}} f(A_i^{-1}v)\, e^{-2\pi i\omega_i||p||^{2n}\langle v|A_i\hat{x}_i\rangle} \mathrm{d}v \qquad \text{(substituting $v\to A_i v)$}\\ &=||p||^n\sum_{i\in{1,\cdots,n}} e^{-2\pi i\omega_i p_i} \int_{\mathbb{R}^{n-1}} (f\circ A_i^{-1})(v)\, e^{-2\pi i\left\langle v\middle|\omega_i||p||^{2n}A_i\hat{x}_i\right\rangle} \mathrm{d}v\\ &=||p||^n\sum_{i\in{1,\cdots,n}} e^{-2\pi i\omega_i p_i} \mathcal{F}(f\circ A_i^{-1})(\omega_i||p||^{2n}A_i\hat{x}_i). \qquad \text{(HD Fourier transform)} \end{aligned}$$
取 $n=3$，即为三维的情况。